TÀO THÁO DÙNG NGƯỜI

Dương Quốc Việt

Trong Tam Quốc diễn nghĩa, Tào Tháo thường bị khắc họa là đa nghi, tàn nhẫn, nhưng đồng thời lại hiện lên như một nhà chính trị – quân sự kiệt xuất, đặc biệt ở nghệ thuật dùng người. Ông có một quan niệm rất “đế vương”: chỉ xét tài năng và hiệu quả, không câu nệ xuất thân, quá khứ hay đạo đức hình thức.

Trọng dụng Tuân Úc, người mang lý tưởng “phò Hán” và không hoàn toàn cùng chí hướng với mình. Tào Tháo biết rõ điều đó, nhưng vẫn tôn Tuân Úc như thầy, giao phó đại sự quốc gia, bởi ông cần một “bộ não chiến lược” hơn là một người cùng chí hướng.

Với Quách Gia, Tào Tháo thể hiện sự tin dùng gần như tuyệt đối. Quách Gia sống buông thả, không hợp chuẩn mực Nho gia, nhưng có tài nhìn xa trông rộng. Tào Tháo bỏ ngoài tai mọi điều tiếng, đặt niềm tin vào năng lực, và thực tế đã được chứng minh bằng hàng loạt phán đoán chiến lược xuất sắc.

Đặc biệt tiêu biểu là câu chuyện không giết Quan Vũ. Biết Quan Vũ trung nghĩa với Lưu Bị, Tào Tháo vẫn đãi ngộ cực hậu, không ép hàng, và khi Quan Vũ bỏ đi, còn cho qua ải. Ở đây, Tào Tháo thể hiện một tầm nhìn lớn: trọng khí tiết của người tài, kể cả khi không thể sử dụng. Giết một bậc trung nghĩa như Quan Vũ, theo ông, không chỉ mất một người tài mà còn làm tổn hại nhân tâm thiên hạ.

Với Trình Dục, người từng bất đồng và không phải thân tín, Tào Tháo vẫn bỏ qua hiềm khích cá nhân khi nhận ra tài mưu lược và sự quyết đoán. Trình Dục trở thành mưu sĩ chủ lực trong nhiều chiến dịch, cho thấy Tào Tháo không để ân oán che khuất lợi ích đại cục.

Bất chấp mọi dị nghị, Tào Tháo vẫn trọng dụng những người bị xem là thô ráp, võ biền như Điển Vi, Hứa Chử, hay các tướng trận mạc thuần túy như Tào Nhân, Tào Hồng. Trong loạn thế, theo ông, làm được việc quan trọng hơn giữ tiếng tốt.

Tào Tháo rất rõ Tư Mã Ý là kẻ “cú dòm sói trực”, thông minh, kín kẽ, có chí lớn và biết ẩn nhẫn chờ thời. Nhưng ông không giết, chỉ cảnh giác tuyệt đối. Vì thế, Tư Mã Ý được dùng mà không được trao quyền, chỉ làm tham mưu, cố vấn: trí tuệ được khai thác, tham vọng bị kiềm chế. Cách dùng người ấy bộc lộ trọn vẹn bản lĩnh Tào Tháo: trọng nhân tài nhưng không đánh mất quyền kiểm soát.

***

Tam Quốc đã qua hàng nghìn năm, nhưng câu chuyện dùng người thì vẫn còn nguyên giá trị. Khi người tài bị loại vì không “thuộc phe”, cái giá phải trả luôn là vận mệnh chung. Tào Tháo hiểu rất rõ điều đó. Biết dùng người khác mình, thậm chí trái mình; bởi giữ được nhân tâm còn khó hơn giữ quyền lực, và ông dám chọn điều khó ấy – phải chăng đó mới là bản lĩnh thực sự của kẻ cầm quyền?

CHUYỆN QUEN MÀ VẪN LẠ

Dương Quốc Việt

Cuộc đời và sự nghiệp của những cá nhân xuất chúng luôn là những chương đặc biệt trong lịch sử nhân loại. Bởi những “quái kiệt” ấy thường xuất hiện như những “kẻ bẻ khóa”– giải mã các bí mật mà tạo hóa còn che giấu. Và một câu hỏi muôn thuở luôn được đặt ra: sự xuất hiện của họ là kết quả tất yếu của hoàn cảnh, giáo dục, môi trường – hay chỉ là một hiện tượng ngẫu nhiên? Nhìn từ lịch sử và thực tiễn, có thể thấy rằng mọi nỗ lực giải thích cho sự kiệt xuất bằng các mô hình logic thuần khiết, hay bất kỳ khung lý luận khép kín nào, rốt cuộc vẫn chỉ làm lộ ra những khoảng trống mênh mông – một câu chuyện quen mà vẫn lạ. 

Bị cám dỗ bởi cái tất nhiên, hay còn những nguyên nhân nào khác, con người thường cố tìm sự tất yếu trước mọi thành công. Trong giáo dục và quản trị xã hội, có một mô hình thường rất được tán dương: trường tốt → đào tạo tốt → sinh viên giỏi → nhân vật lớn. Cách nhìn này đem lại cảm giác tự chủ: thành công có thể hoạch định, thiên tài có thể “sản xuất”. Newton được gắn với Cambridge; Einstein với ETH Zürich; Kant với Königsberg; Napoleon Bonaparte với các trường quân sự Pháp; Mozart với Vienna; Beethoven với các học viện âm nhạc Đức; Leonardo da Vinci với Florence và Milan… Tiếc thay, Cambridge không sản sinh Newton ở mỗi thế hệ; nước Đức chưa từng sinh ra Kant lần thứ hai; ETH Zürich chỉ có một Einstein; Florence chỉ có một Leonardo… Vả lại, nếu sự xuất chúng là tất định, sao nó chỉ hiện diện như những đột biến hiếm hoi của lịch sử?

Einstein, Galileo hay Marie Curie đều sớm được tiếp cận những môi trường giáo dục khuyến khích tự đặt câu hỏi, tư duy độc lập và tìm kiếm câu trả lời theo cách riêng. Xa hơn nữa, không ít cá nhân còn đi theo những con đường học tập phi truyền thống: Feynman tự chọn phương pháp học linh hoạt, luôn thử nghiệm và tự đặt câu hỏi; còn Jobs bỏ đại học nhưng tiếp tục theo học các khóa nghệ thuật và thư pháp theo phương thức riêng – những trải nghiệm đã ảnh hưởng sâu sắc đến tư duy thiết kế và khả năng sáng tạo sản phẩm của Apple sau này. Có thể thấy, cách thức học của những con người ấy, không chỉ như một sự phản biện đối với kiểu giáo dục thiên về ghi nhớ, tuân thủ mù quáng và áp đặt các chuẩn mực cứng nhắc, mà còn như đặt ra một câu hỏi: phải chăng vai trò quan trọng nhất của nhà trường là không kìm hãm, không làm méo mó, và biết giải phóng tối đa vốn tiềm năng trong mỗi con người – quyết không nên, mà cũng không thể, ôm tham vọng “tạo ra” thiên tài?

Shakespeare khó có thể xuất hiện nếu không gặp bối cảnh văn hóa thời Elizabeth; Nikola Tesla, với hàng loạt phát minh mang tính cách mạng, gắn liền chặt chẽ với môi trường kỹ thuật – công nghiệp của nước Mỹ cuối thế kỷ XIX. Văn hóa tôn trọng sự khác biệt, nuôi dưỡng khả năng sáng tạo, năng lực phản biện và lòng dũng cảm thử nghiệm sẽ tạo nên nền tảng thuận lợi cho sự phát triển của tài năng. Ngược lại, một môi trường văn hóa bảo thủ, nghi kỵ cái mới, đề cao tuân thủ, ưa đồng hóa hay cào bằng… thường kìm hãm, thậm chí triệt tiêu mọi biểu hiện nổi trội. Lịch sử cho thấy không ít thiên tài từng là nạn nhân của những thứ văn hóa tiêu cực – từ Galileo Galilei đến Van Gogh, từ Franz Kafka đến Rosalind Franklin trong nghiên cứu DNA; tất cả đều phải đối mặt với sự phản kháng, sự cô lập hoặc sự phủ nhận.

Nền dân chủ Athens đã tạo ra một không gian công luận đủ rộng, kéo dài đủ lâu, để tư tưởng của Socrates có thể lan tỏa. Học thuyết Khổng Tử được truyền bá rộng rãi trong bối cảnh thời Chiến Quốc – một giai đoạn đa nguyên và tương đối cởi mở về tư tưởng. Nhưng sau khi thống nhất Trung Hoa, Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt phần lớn sách, và theo Sử ký của Tư Mã Thiên, tại Hàm Dương có hàng trăm nhà nho bị chôn sống vì sở hữu những trước tác bị cấm. Trong nhiều bối cảnh khác, các chế độ mang tính toàn trị đã kìm hãm hoặc loại bỏ những cá nhân kiệt xuất khi sự nghiệp của họ còn dang dở. Từ những thực tế lịch sử ấy, có thể thấy rằng quyền lực dường như quyết định xác suất sống sót và khả năng lan tỏa của sự xuất chúng.

Thomas Edison với bóng đèn sợi đốt chỉ là một sự sống sót tình cờ giữa bãi rác phế thải của vô số thử nghiệm rời rạc, phần lớn đi vào ngõ cụt; Winston Churchill từng bị thất sủng và bị coi thường, và chỉ trong những hoàn cảnh lịch sử đặc biệt, ông mới được đẩy lên vị trí lãnh đạo trong Thế chiến II; Alexander Fleming phát hiện penicillin không phải từ một kế hoạch nghiên cứu có chủ đích, mà từ một đĩa vi khuẩn bị nhiễm mốc tình cờ… – những hy hữu thường song hành với sự xuất chúng. Vì thế, logic hậu nghiệm – lấy kết quả đã xảy ra để dựng nên một chuỗi nguyên nhân hợp lý, biến cuộc đời đầy bất định của thiên tài thành một quỹ đạo tiền định, nhằm minh họa cho một mô hình giáo dục hay quản trị nào đó, sẽ vừa sai về mặt khoa học, lại phản bội sự thật lịch sử.

Sự xuất chúng không hoàn toàn là ngẫu nhiên, nhưng tuyệt đối không phải là tất nhiên. Nó tồn tại ở vùng giao thoa mong manh giữa năng lực cá nhân, hoàn cảnh lịch sử và những cú rẽ tình cờ mà không một lý thuyết nào có thể lý giải thấu đáo. Chỉ biết rằng, nhìn từ mọi góc độ, khả năng “chết yểu” của nó là cực lớn. Nên chăng, thái độ đúng mực trước những con người kiệt xuất không phải là cố gắng giải thích họ đến cùng, mà là thừa nhận giới hạn của mọi giải thích. Chỉ khi thôi biến họ thành những bằng chứng cho những mô hình chủ quan nào đó, người ta mới có thể giữ được sự trung thực và sự khiêm tốn trước lịch sử. Và biết đâu, chính sự khiêm tốn ấy mới là điều kiện cần thiết để không dập tắt những “nhiễu lạ” trong tương lai.

Đã đăng trong tia sáng: Sự xuất chúng: Bất định hay tất định?

KHI NIỀM TIN ĐÃ CŨ

Dương Quốc Việt

Điều gì xảy ra khi niềm tin không theo kịp thời đại?

Con người sống không thể thiếu niềm tin. Niềm tin tự nó, không thiện cũng không ác. Đó là một loại năng lực tinh thần – thứ không những trao cho con người khả năng lý giải hay hóa giải hiện thực nào đó, mà còn giúp con người chịu đựng, hy vọng, dấn thân và hy sinh. Không có niềm tin, con người khó có thể tồn tại như một chủ thể có sức sống. Dẫu vậy, từ lịch sử nhân loại cho thấy một nghịch lý cay đắng: tai họa lớn nhất không hẳn đến từ sự thiếu vắng niềm tin, mà là từ những niềm tin đã mất khả năng vận hành – như trở thành định kiến, nhưng vẫn còn được sùng bái. Bởi khi niềm tin không còn gắn với lý trí, không được kiểm chứng qua thực tiễn, và đặc biệt đã trở nên lỗi thời – nhưng vẫn được lan truyền, bảo vệ và tôn thờ như một thứ mốt tinh thần – khi đó nó thường sản sinh bạo lực, tha hóa và bi kịch.

Khi niềm tin trở thành giáo điều

Khoảng năm 150 sau Công nguyên, Claudius Ptolemy đã hoàn chỉnh thuyết địa tâm bằng một mô hình toán học trong Almagest. Từ đó, nó trở thành một mô hình vũ trụ chuẩn mực suốt gần 1.400 năm, cho phép dự đoán khá chính xác nhật thực, nguyệt thực và chuyển động của Mặt Trăng cùng các hành tinh cổ điển: Sao Kim, Sao Mộc, Sao Thủy, Sao Hỏa, Sao Thổ. Những điều phù hợp với trực giác và kinh nghiệm sống cổ xưa: Trái Đất dường như đứng yên, còn các thiên thể thì “quay quanh”. Thuyết địa tâm là cách giải thích tự nhiên và hợp lý nhất trong bối cảnh chưa có công cụ quan sát hiện đại. Vì thế, nó trở thành nền tảng của khoa học Trung Cổ, được Giáo hội Kitô giáo tiếp nhận và dần nâng lên thành khung tri thức chính thống ở châu Âu, thế giới Hồi giáo và Byzantine.

Thế rồi, vào đầu thế kỷ XVII – một bước ngoặt xuất hiện – khi Galileo Galilei lần đầu tiên hướng kính thiên văn lên bầu trời. Những phát kiến của ông đã trực tiếp làm lung lay nền móng của thuyết địa tâm – các vệ tinh của sao Mộc cho thấy không phải mọi thiên thể đều quay quanh Trái Đất. Tuy nhiên, những quan sát ấy không được tiếp nhận như một dữ kiện khoa học, mà bị xem là mối đe dọa đối với một hệ chân lý đã đóng băng. Trong bối cảnh đó, Galileo Galilei bị kết án không phải vì ông sai, mà vì những phát hiện của ông đã vượt quá khả năng chấp nhận của một hệ niềm tin đã hóa giáo điều. Rằng Trái Đất là trung tâm vũ trụ – khi đó vẫn đang là một “chân lý thời thượng”, được bảo vệ không chỉ bằng lập luận, mà bằng quyền lực và bạo lực.

Thời Trung Cổ châu Âu vì thế đã trở thành một minh họa kinh điển cho sự biến dạng của niềm tin. Niềm tin tôn giáo – vốn nhằm dẫn con người tới cái thiện và sự cứu rỗi – đã bị đóng khung thành những chân lý bất khả nghi vấn. Tòa án Dị giáo (Inquisition) không ra đời vì thiếu niềm tin, mà vì quá nhiều niềm tin tuyệt đối: niềm tin rằng chân lý đã hoàn tất, và mọi nghi ngờ đều bị xem là tội lỗi. Lịch sử sau đó cho thấy: không phải khoa học đe dọa niềm tin, mà chính niềm tin bị đóng khung mới đe dọa sự thật.

Có người đã gọi đó là những hệ niềm tin không hoạt động – từng có giá trị trong quá khứ, nhưng đã mất khả năng giải quyết những vấn đề mới, song vẫn được duy trì bằng thói quen, quyền lực và nỗi sợ hãi.

Khi niềm tin bị tha hóa

Thế kỷ XX – nhân loại đã từng chứng kiến những sự thật kinh hoàng – sản sinh từ niềm tin bị tha hóa. Trước hết phải kể đến chủ nghĩa Quốc xã ở Đức. Đó không chỉ là một học thuyết chính trị, mà còn là một niềm tin được thần thánh hóa: mê tín vào một dân tộc thượng đẳng, vào lãnh tụ tuyệt đối, vào sứ mệnh lịch sử vượt lên trên đạo đức. Đã thế nó lại còn được kích động mạnh mẽ bằng tuyên truyền, biểu tượng và cảm xúc tập thể. Điều đã dẫn tới Holocaust – một trong những tội ác lớn nhất trong lịch sử nhân loại.

Tương tự, nhiều cuộc cách mạng mang danh giải phóng con người – đã biến niềm tin về một xã hội lý tưởng – thành một thứ giáo điều. Khiến bất cứ ai dám đặt câu hỏi – đều bị coi là phản động. Kết cục, biết bao xứ sở phải sống trong đói nghèo cơ cực và ngạt thở, hàng triệu người chết không phải vì thiếu niềm tin, mà vì niềm tin không được phép nghi ngờ.

Lịch sử phong kiến châu Âu cuối thế kỷ XVIII cũng vậy – niềm tin: “vua được Chúa trao quyền” không còn phù hợp với xã hội đã có khoa học, in ấn và giai cấp tư sản. Nhưng thay vì tự điều chỉnh, hệ niềm tin ấy lại cố chấp duy trì quyền thống trị. Để rồi cái gì đến ắt phải đến: Cách mạng Pháp 1789 – một vụ nổ dữ dội, khởi phát từ chính cái hệ niềm tin đã hết hạn sử dụng kia.

Khi niềm tin biến thành bản sắc

Nguy hiểm hơn, khi niềm tin thời thượng không dành chỗ cho lựa chọn cá nhân, mà trở thành bản sắc tập thể. Tin hay không tin không còn là câu hỏi của tư duy, mà quy thành câu hỏi: chủ thể thuộc về phe nào? Trong những hoàn cảnh như thế, lý trí bị coi là vô cảm, hoài nghi bị coi là phản bội, còn thận trọng bị coi là hèn nhát. Đám đông cần khẩu hiệu đơn giản hơn là câu hỏi khai mở. Đó cũng chính là mầm mống của hủy hoại xã hội. Bởi lịch sử cho thấy: mọi thảm họa lớn đều bắt đầu từ việc dập tắt quyền được nghi ngờ.

Một ví dụ điển hình về việc niềm tin trở thành bản sắc tập thể – ấy là chủ nghĩa phân biệt chủng tộc “khoa học” (thế kỷ XIX – đầu XX) – mặc dù đã bị khoa học bác bỏ, nhưng niềm tin vẫn dai dẳng tồn tại – thứ cuối cùng biến thành phát xít, apartheid và diệt chủng. Phải chăng – thế giới trở nên “điên rồ” không phải vì thiếu niềm tin, mà vì bám víu vào những niềm tin đã bị cáo chung?

Niềm tin thời thuật toán

Thời đại số không làm con người bớt tin, thậm chí còn làm họ tin nhanh hơn. Thuyết âm mưu, chủ nghĩa dân túy, sự sùng bái thủ lĩnh hay thần tượng… lan truyền với tốc độ chóng mặt. Niềm tin giờ đây có thể trở thành lỗi thời chỉ sau một cú nhấp chuột.

Điều đáng lo không phải là con người còn niềm tin hay không, mà là ở chỗ: người ta tin mà không cần hiểu, tin mà không cần kiểm chứng, và tin vì do sợ bị cô lập – nếu không chịu tin. Khi niềm tin được nuôi dưỡng bởi thuật toán thay vì trải nghiệm và suy tư, nó dễ dàng bị thao túng bởi các công cụ kỹ thuật.

Trong bối cảnh ấy, có lẽ điều nguy hiểm không hẳn là niềm tin sai, mà là sự vắng mặt của chủ thể chịu trách nhiệm với cái sai – và vì thế, tất nhiên, không thể tìm ra đối tượng buộc phải sửa sai.

Phải chăng hãy để quá khứ trôi qua và nỗi sợ tan chảy?

Lịch sử không bao giờ phủ nhận quá khứ, mà chỉ cảnh báo về việc để quá khứ cai trị hiện tại. Truyền thống khi bị thần thánh hóa sẽ đóng băng lịch sử. Nhật Bản thời Minh Trị đã dám “để quá khứ trôi qua”: từ bỏ bế quan, tái cấu trúc toàn bộ hệ niềm tin về nhà nước, giáo dục và quân sự, và đã trở thành một cường quốc hiện đại trong vài thập kỷ. Trong khi đó, nhà Thanh cố giữ niềm tin cũ, xem thế giới mới là “dị tộc man di”, mà dẫn đến suy vong.

Ở tầng sâu nhất, niềm tin không hoạt động vẫn có thể tồn tại – vì nó làm cho con người bớt đi: nỗi sợ mất căn tính, nỗi sợ hỗn loạn, nỗi sợ trách nhiệm. Chỉ khi nỗi sợ tan chảy, trí tuệ mới thực sự tự do. Phong trào dân quyền của Martin Luther King Jr. hay sự sụp đổ của Bức tường Berlin đều cho thấy: không phải súng đạn, mà là sự tan rã của niềm tin cũ trong lòng con người hiện tại – mới là động lực quyết định của lịch sử.

***

Lịch sử không lên án niềm tin – mà chỉ cảnh báo: niềm tin nào từ chối đối thoại với lý trí thì sớm muộn cũng sẽ đối diện với bi kịch. Một xã hội lành mạnh không phải là xã hội không có niềm tin, mà là một xã hội trong đó – không một niềm tin nào được miễn trừ chất vấn. Khi niềm tin trở thành lỗi thời, nó đánh mất sự khiêm tốn – phẩm chất cần thiết nhất để đến với ánh sáng. Và ở bất cứ đâu – khi con người tin nhiều hơn là nghĩ, hô hào nhiều hơn là suy ngẫm, thì lịch sử – dẫu vốn rất kiên nhẫn – cũng sẽ lại phải chuẩn bị cho một bài học mới, thường là đớn đau, để nhắc nhở họ: không có niềm tin nào nguy hiểm hơn niềm tin rằng – nó không thể sai.

“Thế giới tưởng chừng như thật điên rồ mà chúng ta đang chứng kiến là kết quả của một hệ niềm tin không hoạt động. Để nhìn thế giới khác đi, chúng ta phải sẵn lòng thay đổi hệ niềm tin của mình, để quá khứ trôi qua, mở rộng nhận thức về hiện tại và làm tan chảy nỗi sợ hãi trong tâm tưởng”– William James (1842 – 1910).

Và nếu còn sống cho đến hôm nay, rất có thể James sẽ nói: Thế giới không thiếu người thông minh – chỉ thiếu những người đủ dũng khí để thay đổi niềm tin của chính mình.

Đã đăng trong Tia Sáng: Khi con người tin rằng mình không thể sai

TOÁN HỌC – TIẾNG GỌI CỦA CẦN KIỆM

Dương Quốc Việt

Có một sự thật có vẻ nghịch lý: toán học – lĩnh vực tưởng như xa rời đời sống hằng ngày – lại là người thầy vĩ đại của đức tính cần kiệm, một trong những phẩm hạnh nền tảng làm nên sức mạnh của cá nhân, cộng đồng và quốc gia. Cần là phẩm chất không thể thiếu trong học toán và làm toán; kiệm là cái đức thấm vào mọi khía cạnh của đời sống toán học. Nếu cần là điều kiện tiên quyết thúc đẩy tiến bộ, thì kiệm chính là nghệ thuật loại bỏ cái dư thừa, chỉ giữ lại cái tinh túy. Và cũng như trong đời sống, cần kiệm giúp con người thoát khỏi đói nghèo; thì trong toán học, cần kiệm giúp nâng tầm trí tuệ, đưa con người đến gần hơn với chân lý.

Toán học – nơi tôi rèn đức cần

Toán học là môn khoa học của tư duy thuần túy, nhưng sự thuần túy ấy không bao giờ dễ dàng. Đằng sau những công thức giản dị đơn sơ, những định lý súc tích, là những năm tháng lao động gian khổ của những bộ óc tỉnh táo. Tất nhiên, “cần” trong toán học không phải là sự cần cù lặp đi lặp lại theo khuôn mẫu. Đó là một thứ cần cù trong đam mê sáng tạo – một loại lao động trí tuệ không khoan nhượng, biết cả chấp nhận thất bại để mở ra những lối đi mới. Mỗi kết quả toán học đều đòi hỏi một “vốn” công sức nhất định mà chắc gì đã có thù lao. Có những bài toán thách thức nhân loại suốt hàng thế kỷ; bao thế hệ nối tiếp nhau, miệt mài thử nghiệm, thất bại, rồi lại đứng dậy, lại bắt đầu… Và chính sự bền chí, kiên định trước những thất bại nối tiếp ấy đã duy trì sức sống bất tận của toán học.

Còn học toán thì sao? Học toán không chỉ đòi hỏi sự miệt mài trên trang giấy; nó đòi hỏi một kỷ luật tinh thần đặc biệt. Cần ở đây là khả năng chịu đựng sự chậm chạp của tiến bộ, chấp nhận rằng – để có một ý tưởng đúng có khi phải trả giá bằng hàng trăm sai lầm. Có những ngày, bạn phải vật lộn với một bài toán tưởng như đơn giản, thử hết cách này đến cách khác mà vẫn bế tắc. Có những đêm dài, một chứng minh chỉ vì thiếu đúng một mảnh ghép cuối cùng, khiến cả kiến trúc sụp đổ. Chính trong những khoảnh khắc ấy, đức cần tỏa sáng: kiên nhẫn, bền chí, không bỏ cuộc, nhưng cũng biết dừng lại, lùi một bước để nhìn rõ hơn. Toán học dạy rằng: không có sự vội vàng nào rút ngắn được con đường đến chân lý; mọi bước tiến đều phải trả giá bằng thời gian và lao động trí tuệ.

Và cũng như vậy trong đời sống, những con người và dân tộc thành công không bao giờ bằng đường tắt. Họ lao động cần mẫn, tích lũy tri thức, học hỏi từ thất bại, và tiến lên từ những nỗ lực nhỏ nhất. Toán học củng cố cho chúng ta một bài học giản dị mà sâu sắc: không có thành công nào đến nhờ may mắn; chỉ có thành công của những người lao động bền bỉ. Và hơn thế nữa, mỗi bước tiến của một dân tộc, cũng như mỗi tiến bộ của toán học, đều được xây nên bằng đức kiên nhẫn và thời gian. Văn minh nhân loại không thể hình thành từ những cú nhảy vội vàng, mà là từ những tiếp nối thế hệ, miệt mài tích lũy và không bao giờ ngưng nghỉ.

Bởi vậy, toán học không chỉ cho con người tri thức, mà còn rèn cho họ một thái độ sống: biết chậm lại, biết nỗ lực, biết bền chí. Khi một con người, một cộng đồng, một dân tộc thấu hiểu những giá trị của đức cần, thông qua giáo dục toán học, thì đó cũng chính là những kết quả hữu dụng mà toán học có thể sản sinh ra, để rồi chúng sẽ tự tỏa sáng.

Toán học – nghệ thuật của đức kiệm

Có thể nói, sự kiệm – kiệm ngôn từ, kiệm giả thiết, kiệm công cụ, kiệm bước suy luận – luôn là mục tiêu tối thượng của mọi phát biểu và chứng minh toán học. Một giả thiết dư thừa hay một bước lập luận rườm rà không chỉ làm giảm vẻ đẹp toán học, mà thường báo hiệu một lỗ hổng trong tư duy. Những câu chuyện quanh Định đề 5 trong Nguyên lý hình học của Euclid là minh chứng sống động cho tinh thần kiệm: những nỗ lực kéo dài hàng thế kỷ nhằm chứng minh định đề này từ các tiên đề khác đã dẫn đến nhận thức rằng một hệ tiên đề phải hội đủ ba phẩm chất thiết yếu: nhất quán, đầy đủ và độc lập. Vì vậy, kiệm không chỉ là vẻ đẹp mà còn là động lực mạnh mẽ thúc đẩy toán học.

Trong học toán, kiệm là biết chọn cách học thông minh: loại bỏ những “hỏa mù”, những quanh co rối rắm, để tập trung vào bản chất vấn đề. Một học sinh biết “kiệm” sẽ luôn gắng nghiền ngẫm lý thuyết, gắng tìm ra cái nguyên lý ẩn sau từng bài tập để rồi phân loại chúng. Kiệm còn là biết đặt câu hỏi đúng, biết dừng lại để nhìn toàn cục, không bị cuốn vào những thủ thuật vụn vặt mà đánh mất mục tiêu chính của sự học. Trong dạy toán, chính sự tinh giản trong phương pháp mới tạo nên một bài giảng hiệu quả. Đó chính là cái đích đến của “kiệm”: dùng ít để đạt nhiều, tiết kiệm thời gian, công sức và năng lực trí tuệ, nhưng lại mở ra một chân trời tri thức rộng lớn hơn.

Những người được rèn “kiệm” trong toán học ắt cũng sẽ biết “kiệm” trong đời sống. Một xã hội được giáo dục toán học tốt sẽ biết trân trọng sự tinh gọn, hiệu quả và chính xác – những giá trị làm nên sự phát triển bền vững và văn minh thực sự. Biết tiết chế cái phù phiếm để hướng tới bản chất, biết từ bỏ sự phức tạp giả tạo để tìm đến sự giản dị – đó chính là nghệ thuật của đức kiệm. Khi một cá nhân, một cộng đồng, hay cả một dân tộc biết “kiệm” trong trí tuệ và hành động, họ sẽ tìm ra con đường ngắn nhất nhưng vững vàng nhất để chạm tới những đỉnh cao của tri thức và văn minh.

Những tấm gương cần kiệm

Archimedes, vào những ngày cuối đời, vẫn cặm cụi bên các hình vẽ trên cát. Newton tự tay chỉnh lý Principia qua nhiều lần, bền bỉ đến mức kiệt sức. Andrew Wiles bảy năm âm thầm theo đuổi Định lý cuối cùng của Fermat, vấp lỗi rồi sửa, đi đến cùng. Đó là những tấm gương lớn của đức cần kiệm trong lao động toán học.

Ở cấp độ quốc gia, Nhật Bản sau chiến tranh và Singapore với nguồn lực ít ỏi đều chọn con đường cần kiệm: ưu tiên con người và tri thức, quản trị chặt chẽ, tối ưu từng đồng ngân sách, từng quy trình. Nhờ đó, năng suất lao động tăng cao, nền tảng khoa học giáo dục vững chắc, cùng với tính kỷ luật cao tạo thành sức bật quốc gia.

Tựu trung, toán học nhắc ta về nghệ thuật tối giản: tinh gọn, giản dị để chạm đến những điều lớn lao. “Cần” để không bỏ cuộc; “kiệm” để không lãng phí trí tuệ và nguồn lực. Đó không chỉ là đức hạnh cá nhân mà còn là sức mạnh cộng đồng, làm nên sự hưng thịnh của cả một dân tộc.

Toán học – ngọn hải đăng cho sự cần kiệm của dân tộc

Một dân tộc mạnh không thể chỉ dựa vào tài nguyên thiên nhiên hay tiềm lực kinh tế, mà dựa vào năng lực trí tuệ và đạo đức cộng đồng. Toán học, với bản chất vừa yêu cầu sự cần cù, vừa nuôi dưỡng sự tiết kiệm, chính là tấm gương soi cho tinh thần phát triển của xã hội.

Một quốc gia được rèn luyện tư duy toán học sẽ có xu hướng tối ưu hóa ngân sách, giảm lãng phí, và tránh những sai lầm chiến lược. Một xã hội được rèn luyện tính kỷ luật và logic sẽ hiểu rằng sự phồn vinh không đến từ quyết tâm duy ý chí mà là từ lao động bền bỉ và sử dụng hiệu quả mọi nguồn lực.

Trong bối cảnh toàn cầu hóa, nơi mỗi quốc gia phải cạnh tranh trong một thế giới hữu hạn, thì cái thông điệp toán học: “Cần kiệm không chỉ là đức hạnh, mà còn là sức mạnh” càng trở nên ý nghĩa.

***

Toán học không chỉ dạy con người tính toán, mà còn dạy họ sống: sống cần cù, sống tiết kiệm, sống có mục tiêu và nguyên tắc. Người học toán đích thực không bao giờ lười biếng và cũng không bao giờ hoang phí. Trong thế giới hiện đại, khi công nghệ và tiêu dùng đẩy xã hội tới bờ vực quá tải, toán học nhắc chúng ta trở về với những giá trị căn bản: lao động bền bỉ và sử dụng khôn ngoan nguồn lực. Và phải chăng một dân tộc biết sống cần kiệm như tinh thần toán học sẽ tìm thấy con đường ngắn nhất nhưng vững chắc nhất để bước tới tương lai?

Đã đăng trong Tia Sáng: Toán học – tiếng gọi của cần kiệm

TOÁN HỌC – CHỦ QUAN VÀ KHÁCH QUAN

Dương Quốc Việt

Nhân loại không ngừng tiến hóa, kéo theo sự lụi tàn của biết bao học thuyết, định luật, và quy tắc. Nhưng với toán học thì không! Các mệnh đề toán học khi đã được chứng minh để trở thành định lý, chúng vẫn sống cùng nhân loại. Và dẫu rằng không đủ khả năng cấp “thẻ bài miễn tử” cho các định lý, con người vẫn tin vào sự vĩnh hằng của chúng. Toán học là một thực thể đặc biệt trong lịch sử tri thức: vừa khách quan, vừa chủ quan; vừa là sản phẩm của con người, vừa như thể phản ánh những quy luật vốn có của vũ trụ. Nó không chỉ là tập hợp những tri thức, mà còn là hành trình trải nghiệm tư duy – nơi lý trí hòa quyện với trực giác, nơi ghi lại dấu ấn của những cá nhân và các nền văn hóa. Ở đó, liệu có phải là sự đồng hành giữa khát vọng sáng tạo của con người và những quy luật vĩnh cửu mà tạo hóa lặng lẽ gửi gắm?

Tính chủ quan trong toán học: Mặc dù nghiêm ngặt về logic, toán học không thể không chứa đựng những yếu tố chủ quan. Sự chủ quan tất yếu, trước hết phải kể đến, ấy là việc lựa chọn các hệ tiên đề cùng với đó là lựa chọn các quy tắc suy luận – những thứ thiết yếu để xây dựng các lý thuyết. Thứ đến, các quyết định về phương pháp tiếp cận, hướng nghiên cứu và cách chứng minh một mệnh đề cũng phản ánh trực giác, kinh nghiệm và cảm nhận riêng của mỗi nhà nghiên cứu. Và chính sự chủ động lựa chọn như thế, đã tạo nên sự đa dạng trong toán học: cùng một vấn đề nhưng có thể dẫn tới nhiều lý thuyết khác nhau tùy theo cách thiết lập nền tảng và cách suy luận của mỗi cá nhân. Tính chủ quan được thể hiện qua dấu ấn trí tuệ và phong cách riêng, nơi lý trí và trực giác cộng hưởng để kiến tạo thế giới toán học.

Những câu chuyện lịch sử về trực giác: Với trực giác đặc biệt về mối liên hệ giữa đại số và hình học, René Descartes đã khai sinh hình học giải tích – một bước đột phá mang tính cách mạng trong lịch sử toán học. Newton và Leibniz, gần như độc lập, đã dựa vào trực giác sâu sắc về “vô cùng bé” để sáng tạo nên vi phân và tích phân – một công cụ mang tính cách mạng, mở ra kỷ nguyên mới cho khoa học tự nhiên. Thiên tài Ấn Độ Ramanujan gây kinh ngạc với trực giác phi thường về các công thức số học, nhiều công thức chỉ được chứng minh sau khi ông qua đời. Những câu chuyện này cho thấy, chính trực giác, linh cảm và trải nghiệm cá nhân đã tạo nên những khám phá mang dấu ấn chủ quan nhưng lại vô cùng quý giá, làm giàu cho kho tàng tri thức chung của nhân loại.

Tính khách quan của toán học: Hilbert từng nói: “Chúng ta không thể bị ai đó ra lệnh phải tin vào một định lý; nó chỉ có thể được chấp nhận sau khi đã được chứng minh.” Khi một định lý đã được chứng minh, tính đúng đắn của nó không thể bị bác bỏ bởi quan điểm hay cảm xúc cá nhân. Những định lý, công thức hay cấu trúc toán học không phụ thuộc vào chủ thể phát hiện ra chúng; chúng như đã tồn tại trong một thế giới nào đó, chỉ chờ được khám phá. Vì thế, toán học hiển hiện tựa như một thế giới khách quan, nơi con người gửi gắm khát vọng vĩnh cửu của mình. Tính “khách quan” này là cơ sở để toán học trở thành ngôn ngữ chung của khoa học, cho phép các nền văn minh khác nhau trên hành tinh của chúng ta, bất kể thời gian hay không gian, có thể tiếp cận và sử dụng, mà không gây dị biệt, lạc điệu.

Đối thoại toán học giữa chủ quan và khách quan: Nếu tư duy sáng tạo, trực giác và cảm nhận cá nhân đưa các nhà toán học đến với những ý tưởng, những giả thuyết, thì chính sự kiểm chứng khách quan thông qua chứng minh sẽ giúp phát triển, khẳng định, điều chỉnh hay loại bỏ những ý tưởng hay giả thuyết đó. Quá trình này là một đối thoại hoàn hảo giữa chủ quan gợi mở, định hướng… với khách quan kiểm nghiệm, hoàn thiện và xác nhận giá trị… Nhờ đó, toán học vừa là sân chơi sáng tạo của cá nhân, vừa là kho trời chung bền vững của tri thức, nơi ý tưởng cá nhân được giao hòa với những quy luật được khám phá của nhân loại.

Giới hạn của chủ quan: Toán học nhân loại dựa trên các hệ tiên đề và hệ logic do con người lựa chọn, nhằm nắm bắt các quy luật toán học vốn có trong vũ trụ. Mang cái chủ quan để hiểu cái khách quan, liệu con người có thể nắm bắt trọn vẹn được chăng? Các định lý bất toàn của Gödel (1931) chỉ ra rằng, trong mỗi hệ tiên đề đủ mạnh, nếu nhất quán thì không thể đầy đủ, và cũng không thể tự chứng minh tính nhất quán của chính mình. Điều này cảnh báo rằng mọi nỗ lực chủ quan của nhân loại nhằm xác nhận cái khách quan và hiểu trọn vẹn bức tranh toán học của vũ trụ là bất khả. Đó cũng còn là bài học cho con người đức khiêm nhường trước tự nhiên!

Thực ra, sự bất toàn không chỉ nằm ở những điều Gödel đã chỉ ra, mà còn thấp thoáng đâu đó ngay cả trong các quy tắc logic sơ đẳng mà chúng ta dùng hàng ngày. Và xin được chia sẻ câu chuyện sau đây. 

Lạm bàn về một tiền đề logic: Trong logic mệnh đề cổ điển, mệnh đề “nếu A thì B” chỉ sai khi và chỉ khi A đúng B sai. Đây là một quy tắc nền tảng mà nhân loại mặc định sử dụng trong suy luận logic. Tuy nhiên, nó dẫn đến một hệ quả dễ gây bối rối: nếu A sai, thì mệnh đề “nếu A thì B” luôn được xem là đúng, bất luận B đúng hay sai. Quy tắc này tưởng như hiển nhiên, nhưng thực ra lại đi ngược trực giác của con người, đặc biệt khi so sánh với cách ta thường hiểu về quan hệ nhân quả trong đời sống. Chỉ từ ví dụ nhỏ này thôi, ta có thể cảm nhận rằng: hệ thống logic mà nhân loại lựa chọn, dù nhất quán nội tại, vẫn không chắc đã là hoàn hảo. Và bởi toán học được xây dựng trên chính nền tảng ấy, nó khó có thể được xem như bức tranh khách quan phản ánh về vũ trụ, mà đúng hơn chỉ là một hệ thống hình thức được con người kiến tạo từ những quy tắc do chính mình đặt ra.

Một khả thể khác – một góc nhìn khách quan: Những luận giải về chủ quan và khách quan đã đề cập, trên tinh thần tự do của toán học, khiến người ta không thể không nghĩ đến – sự tồn tại một câu chuyện toán học khác ở một hành tinh khác. Rằng ở một nơi nào đó trong vũ trụ, một xã hội gồm những siêu nhân với cấu trúc tư duy, hệ thống logic hoặc trực giác hoàn toàn khác, họ có thể phát triển một hình thái toán học riêng, dù vẫn dựa trên trật tự vốn có của vũ trụ. Toán học của họ có thể khám phá những quy luật mà loài người trên hành tinh này chưa từng tưởng tượng. Và phải chăng, có thể nói, mặc dù toán học là ngôn ngữ chung của vũ trụ, nhưng mỗi loài lại có thể kể câu chuyện về nó theo cách riêng của mình?

Và tất nhiên, định lý bất toàn của Gödel chỉ phát huy tác dụng trong phạm vi các hệ thống toán học dựa trên logic hình thức cổ điển mà nhân loại đang lựa chọn. Nếu, giả sử, có một nền văn minh khác trong vũ trụ sử dụng một hệ logic hoàn toàn khác để xây dựng toán học của họ, thì những giới hạn “bất toàn” của “toán học Trái Đất” có thể sẽ không xảy ra với họ. Điều này gợi mở một khả thể thú vị: những giới hạn mà chúng ta đang đối diện chưa chắc đã là giới hạn tối hậu, mà chỉ là giới hạn cục bộ bởi công cụ logic do con người đặt ra để tiếp cận cái khách quan.

***

Như vậy, nếu loại bỏ đức tin, chỉ bằng lý trí, chúng ta chỉ có thể nói rằng các kết quả toán học của con người – của nền văn minh trái đất chưa hẳn đã là khách quan, là chân lý tuyệt đối. Và có thể, ở đâu đó, những nền văn minh khác đang ngân lên bản giao hưởng riêng của họ bằng những “nốt nhạc” toán học mà chúng ta chưa từng nghe thấy. Nhận thức rõ điều này giúp con người khiêm nhường hơn trước sự vô tận của nhận thức chân lý, đồng thời gợi mở rằng nếu toán học nhân loại đúng là một mảnh ghép dù chỉ rất khiêm tốn trong bức tranh toán học của tạo hóa thì cũng đã là một điều may mắn lớn lao. Dẫu vậy qua trải nghiệm hàng nghìn năm chung sống với toán học, khiến con người không thể không tin vào điều kỳ diệu lớn lao ấy.

Bài đăng Tia Sáng số 23/2025: Toán học: Chủ quan và khách quan

TOÁN HỌC – TIẾNG GỌI LIÊM CHÍNH

Dương Quốc Việt

Với mỗi nền văn minh, liêm chính – sự trung thực và nhất quán giữa nghĩ, nói và làm – luôn được coi là nền tảng cốt lõi của đạo đức. Đặc biệt, trong thời đại ngày nay, khi thế giới đầy biến động, khi sự thật bị bóp méo bởi lợi ích nhóm và những trò ngụy biện, xảo trá, liêm chính càng cần phải được phục hồi và nuôi dưỡng trong mỗi con người. Trong công cuộc kiếm tìm một “người thầy” để soi sáng và rèn luyện phẩm hạnh ấy, người ta không thể không nghĩ đến toán học. Vì sao? 

Vì toán học không chấp nhận dối trá – vì toán học không dung thứ mập mờ – vì toán học yêu cầu chân lý tuyệt đối, minh bạch từ định nghĩa đến chứng minh, từ giả thiết đến kết luận. Học toán không chỉ là học tính toán – học toán là học tôn trọng sự thật, học kỷ luật tư duy, và học trung thực với chính mình. Đó chính là tiếng gọi liêm chính – không chỉ trong nghiên cứu học thuật, mà còn trong cách sống, làm việc và kiến tạo xã hội. 

“Liêm chính là chọn can đảm thay vì sự tiện nghi; chọn điều đúng thay vì điều thú vị, nhanh chóng hay dễ dàng; và chọn thực hành giá trị thay vì chỉ nói suông“– Brené Brown.

Toán học – suối nguồn của liêm chính

Trong toán học, một chứng minh sai thì không thể thương lượng: không có giải pháp nào biến mệnh đề sai thành đúng, cũng như không có “thủ thuật ngôn ngữ” nào khiến một phương trình vô nghiệm trở thành có nghiệm. Chính tính khắt khe và minh bạch này đã tạo ra một môi trường – nơi liêm chính trí tuệ là điều kiện bắt buộc. Ở đó, bạn không thể gian lận bởi mọi định lý đều dựa trên giả thiết rõ ràng – từng bước lập luận phải minh chứng được – một sai sót dù nhỏ sớm muộn cũng sẽ được phát hiện. Bạn cũng không thể dối người khác, bởi sự kiểm chứng trong toán học là khách quan và phổ quát, độc lập với mọi ý kiến, lợi ích, quyền lực hay học hàm. Toán học dạy con người khiêm nhường trước sự thật và kiên định với lẽ phải – đó cũng là nền tảng góp phần nuôi dưỡng liêm chính trong đời sống. 

Euclid đã từ chối vua Ai Cập khi ngài yêu cầu “một con đường tắt” để học hình học: “Không có con đường hoàng gia để học toán.” Gauss thì khẳng định: “Tôi yêu sự thật hơn tất cả, kể cả những giả thuyết đẹp đẽ của chính mình.” Và Grigori Perelman, người giải bài toán thiên niên kỷ, đã từ chối giải thưởng 1 triệu USD chỉ vì: “Tôi quan tâm đến chân lý, không quan tâm đến vinh quang.” Những tấm gương này cho thấy: chính liêm chính toán học đã tạo nên những con người bản lĩnh trước cám dỗ, kiên định trước quyền lực và dũng cảm đối diện với sự thật.

Trong một xã hội, càng nhiều cá nhân được rèn luyện phẩm chất này, thì càng ít gian dối, càng ít lãng phí nguồn lực, càng gia tăng sức mạnh nội sinh. Ngược lại, một xã hội thiếu liêm chính sẽ luôn tự tiêu hao năng lượng, trì hoãn sự phát triển và đánh mất niềm tin. Toán học gợi mở một chân lý giản dị: thành công và văn minh chỉ có thể được xây trên nền tảng liêm chính và lao động bền bỉ – không đường tắt, không ma thuật, không ảo thuật. 

Toán học – ngôn ngữ của minh bạch

Nguyên tắc tối thượng của toán học là tính rõ ràng – mọi khái niệm phải được định nghĩa chính xác – mọi giả thiết phải tường minh, không lẩn khuất – mọi kết luận phải bắt buộc được suy ra từ lập luận logic. Toán học dạy con người một bài học quý giá: không thể dùng mập mờ thay cho sự minh bạch của lý lẽ. Một xã hội biết tư duy theo tinh thần toán học sẽ công khai thông tin để giảm cơ hội tham nhũng, kiểm chứng chính sách dựa trên dữ liệu, không dựa trên lời hứa, đánh giá con người qua công việc và kết quả, thay vì những tiêu chí mơ hồ.

Trong thời đại AI, dữ liệu lớn và công nghệ số, những quốc gia tiên tiến đang xây dựng hệ thống quản trị dựa trên minh bạch dữ liệu. Các chỉ số cốt lõi về ngân sách, giáo dục, y tế, môi trường, khoa học – đều được công khai và được đo lường bằng những mô hình toán học hiệu quả. Điều đó có nghĩa là quản trị thông minh phải dựa trên toán học – chống tham nhũng phải bắt đầu từ minh bạch thông tin – chính sách hiệu quả phải được kiểm chứng bằng mô hình định lượng – để ý chí chủ quan không trở thành không tưởng. 

Ở cấp độ sâu xa hơn, toán học còn nhắc nhở chúng ta một nguyên lý bất biến: sự thật chỉ hiển lộ khi minh bạch. Mọi thứ mập mờ đều tạo điều kiện cho gian dối – mọi che giấu dữ liệu đều mở đường cho đặc quyền – và mọi chính sách thiếu cơ sở đều dẫn đến lãng phí nguồn lực. Khi xã hội không tôn trọng minh bạch, thì ngay cả những ý tưởng cao đẹp nhất cũng sẽ bị làm méo mó. Chính vì thế, toán học không chỉ là công cụ khoa học – mà còn là ngôn ngữ của sự công bằng, lá chắn của liêm chính, và là tấm gương soi chiếu đạo đức của một nền quản trị.

Toán học – liêm chính và phát triển quốc gia

Trong lịch sử hiện đại, không ít quốc gia giàu tài nguyên nhưng nghèo tri thức và liêm chính đã rơi vào bẫy tụt hậu. Thực tế, có nước từng sở hữu trữ lượng dầu mỏ vào tốp ba thế giới, nhưng tham nhũng tràn lan, thiếu minh bạch dữ liệu kinh tế, và chính sách dựa trên quyền lực thay vì khoa học, đã khiến nền kinh tế suy sụp. Đâu đó, khi quyền lực lấn át lẽ phải, khi lợi ích nhóm đè bẹp sự thật khách quan, khi giá trị con người được đo bằng những tiêu chí ngoại vi thay vì năng lực, thì khoa học, giáo dục và sáng tạo tất yếu bị ngạt thở.

Ngược lại, những quốc gia tôn trọng sự thật và nuôi dưỡng tư duy toán học – như Phần Lan, Israel, Hàn Quốc, Singapore – đều đã bứt phá ngoạn mục, mặc dù các quốc gia này không giàu tài nguyên. Ưu điểm chung của họ là xây dựng một hệ thống quản trị minh bạch, đo lường mọi kết quả bằng dữ liệu định lượng, và khuyến khích liêm chính học thuật để thúc đẩy sáng tạo. Qua đó có thể thấy, nơi nào liêm chính, nơi đó tối ưu hóa được nguồn lực, giảm thất thoát và tăng năng suất xã hội – đồng thơi toán học mới được sử dụng hiệu quả – chuyển hóa tri thức thành sức mạnh phát triển. 

***

Toán học không chỉ là khoa học về số và hình – nó còn là trường học của sự liêm chính. Nó dạy ta phải tuyệt đối tuân thủ sự thật, vì trong toán học, một lỗi lầm nhỏ cũng đủ phá vỡ cả hệ thống. Nó dạy ta minh bạch trong tư duy, vì ở đó không tồn tại vùng xám. Và nó giáo dục ta đức phục tùng chân lý, bởi chân lý toán học phổ quát, không thuộc về bất kỳ cá nhân, nhóm lợi ích hay quyền lực nào.

Trong thế kỷ XXI – kỷ nguyên của AI, dữ liệu và tri thức – một quốc gia muốn phát triển bền vững, thì ngoài phát huy những thế mạnh như tài nguyên, dân số hay quyết tâm ý chí, còn cần tư duy toán học để xây dựng hệ thống liêm chính xã hội, nơi mọi chính sách, mọi quyết định, mọi con số đều minh bạch, được kiểm chứng, và đặt trên nền tảng sự thật.

“Sự thật không thương lượng  – công lý không mặc cả  – tương lai chỉ thuộc về những xã hội liêm chính”– không có sự phát triển bền vững nào được dựng trên nền tảng giả dối. Liêm chính vì thế không chỉ là đức hạnh cá nhân, mà còn là năng lực quốc gia. Và toán học chính là ngôn ngữ nói lên những sự thật ấy, là tiếng gọi thầm lặng nhưng mạnh mẽ gửi đến từng cá nhân, từng nhà lãnh đạo và từng dân tộc.

Bài đăng Tia Sáng số 22/2025: Toán học: Tiếng gọi liêm chính

TOÁN HỌC – NƠI HÓA GIẢI DỤC VỌNG

Dương Quốc Việt

Tạo hóa sinh ra loài người phải sống trong những đường biên hạn hẹp: đời sống hữu hạn, nguồn lực hữu hạn, thân phận hữu hạn, và lại thổi vào những sinh linh ấy những khao khát khôn cùng: khát vọng muốn biết, muốn có, muốn trở thành. Dục vọng này vừa là sinh lực của tiến bộ, vừa có thể trở thành ngòi nổ của cuồng vọng. Vấn đề: năng lượng đó cần được ứng xử thế nào để khỏi thiêu đốt thế gian?

Từ triết học, lịch sử đến tôn giáo và nhiều lĩnh vực khác, nhân loại không ngừng giáo dục, khuyên răn, cảnh báo về hiểm họa ấy. Còn toán học thì sao? Không dập tắt dục vọng, cũng không khuyến khích đoạn diệt, toán học trao cho dục vọng một miền công lý. Nơi đây, bản năng mù quáng được chuyển hóa thành động lực của lý trí, kỷ luật và minh bạch trở thành nguyên tắc. Năng lượng sáng tạo của những bộ óc vĩ đại chẳng những không bị triệt tiêu mà còn được tinh luyện thành sức mạnh cứu rỗi, vừa phát huy tối đa tiềm năng, vừa làm đẹp cho đời.

Khi trí tuệ bị kẹt trong trường dục vọng

Lịch sử đã nhiều lần chứng kiến bi kịch khi trí tuệ phi thường bị cuốn vào quyền lực, sở hữu hay danh vọng. Những bộ óc xuất sắc, nếu chỉ vận hành trên bàn cờ tiền – quyền – danh, thường tạo ra chiến lược tối ưu cho cá nhân hoặc phe nhóm, nhưng đồng thời tối thiểu hóa lợi ích của toàn thể, thậm chí còn gây hại. Từ kỹ nghệ tuyên truyền, thao túng thị trường tới công nghệ vũ khí, trí tuệ ấy có thể trở thành “đòn bẩy của bất công và hỗn loạn”.

Cái nguy hiểm không nằm ở trí tuệ, mà là ở hàm mục tiêu, điều khiến cho trí tuệ buộc phải tối ưu. Khi mục tiêu là thống trị – bất chấp tổn thương xã hội, thì càng thông minh càng nguy hiểm. Nhân loại không mong ít thiên tài hơn, mà mơ về những miền đất hứa, nơi các bộ óc phi thường có thể tự do vùng vẫy mà không gây hại. Giấc mơ ấy khiến người ta nhìn ra vai trò hóa giải dục vọng của toán học.

Toán học – vũ trụ của tự do có kỷ luật

Toán học mở ra một “vũ trụ song song” nơi tự do tuyệt đối đồng thời được duy trì trong kỷ luật tuyệt đối. Một không gian nơi trí tưởng tượng được giải phóng hoàn toàn, băng qua vô hạn, lật ngược điều hiển nhiên, khám phá cấu trúc giữa trật tự và hỗn loạn, nhưng mọi tự do đều chịu ràng buộc tuyệt đối bởi logic. Chứng minh là “giấy thông hành” duy nhất, mâu thuẫn bị loại trừ, đặc quyền không tồn tại.

Trong không gian ấy, mọi khao khát của trí tuệ đều được tái định hình. Những dục vọng chinh phục, thống trị, bất tử – vốn hỗn loạn trong đời sống thường ngày – được chuyển hóa thành khát vọng chân lý, sự nhất quán và cái đẹp nội tại. Người làm toán không tìm cách sở hữu thế giới mà tìm cách hiểu cấu trúc của thế giới – một kiểu sở hữu không gây hao tổn cho ai. Từ số vô tỉ đến phân cấp vô hạn của Cantor, từ giải tích đến topo, toán học chạm tay vào vô hạn mà không rơi vào hư vô.

Kant từng nói: “Tự do là phục tùng những luật do chính mình đặt ra”, và toán học hiện thực hóa điều ấy một cách triệt để: tự chọn tiên đề, rồi tuyệt đối trung thành với hệ quả. Đây là bài học đạo đức tinh tế: tự do không đối lập với kỷ luật – tự do cần kỷ luật – một thứ giác ngộ cao cả.

Toán học – trọng tài của các xung đột dục vọng

Trong xã hội, xung đột nảy sinh khi các chủ thể theo đuổi những mục tiêu khác nhau trên nguồn lực hữu hạn. Toán học có thể cung cấp cơ chế để chuyển đổi những tranh chấp riêng lẻ thành hệ thống hài hòa, nơi lợi ích cá nhân và lợi ích tập thể có thể đồng tồn.

Lý thuyết trò chơi chỉ ra – lựa chọn cá nhân hợp lý đôi khi gây bất lợi tập thể, đồng thời gợi mở cách thiết kế cơ chế để lợi ích cá nhân và tập thể hội tụ. Các mô hình thị trường và đấu giá chứng minh – cơ chế đúng khiến nói thật trở thành chiến lược tối ưu, giảm thao túng và lãng phí. Ngay cả trong các tình huống phức tạp như ghép cặp ổn định, toán học cho thấy luật chơi hợp lý có thể cứu người và đảm bảo công bằng mà không cần lời kêu gọi đạo đức. Thuật toán công bằng biến những định kiến tiềm ẩn trong dữ liệu hoặc mô hình thành các ràng buộc định lượng, từ đó cho phép thiết kế các thuật toán ra quyết định công bằng hơn. 

Toán học không rao giảng đạo đức, mà biến những lời khuyên trừu tượng thành ràng buộc vận hành, chuyển năng lượng thô của dục vọng thành kết quả có lợi cho cá nhân và cộng đồng.

Toán học – sự chuyển hóa 

Phật học cho rằng “khát ái” là nguồn gốc khổ đau; trong khi đó, toán học không hướng tới đoạn diệt mà tìm cách chuyển hóa, đặt nó vào các môi trường có ràng buộc để đạt trạng thái cân bằng. Đạo gia khuyên sống “thuận tự nhiên” (vô vi). Thì cái lẽ “thuận tự nhiên” ấy, khi diễn ra trong môi trường toán học – chính là sự tuân thủ cấu trúc hệ thống: di chuyển theo các hướng mà hệ thống gợi ý, tránh gây rối loạn hay dẫn tới mất cân bằng.

Từ minh triết phương Đông sang triết học phương Tây, ta thấy đều có cùng một mối quan tâm. Spinoza nhấn mạnh conatus – xu hướng tự tồn – và toán học giúp conatus không biến thành tham vọng vô độ, bằng cách tối ưu lợi ích cá nhân trong giới hạn bị ràng buộc bởi lợi ích chung. Cũng theo ông, tự do thực sự là sống theo lý trí, tư tưởng này được hóa thân vào toán học – “cộng hòa của luật” – nơi mà mọi hành động đều thuận theo hệ thống logic của chính nó một cách tự nhiên. 

Toán học – chân dung và những bài toán lớn

Những bộ óc phi thường, từ Gauss với chuẩn mực hơn quyền lực, Ramanujan cháy trong đồng nhất thức, Grothendieck khai phá lục địa trừu tượng rồi lặng lẽ rời bỏ vinh quang, Einstein với ít phương trình nhưng mang ý nghĩa to lớn, đến Perelman lặng lẽ giải Poincaré rồi bỏ mặc cả huy chương Fields lẫn giải thưởng triệu đô… đều chứng minh rằng trí tuệ có thể thỏa sức mà không gây tổn hại, nâng cao phẩm giá chung bằng chuẩn mực chân lý, mỹ học giản dị và nhất quán.

Nhân loại luôn sản sinh ra những bài toán đủ lớn để hút năng lượng vô hạn của dục vọng sáng tạo: 23 bài toán Hilbert, chương trình Langlands, giả thuyết Riemann, P = NP?, 7 bài toán do viện toán Clay đặt ra cho  “thiên niên kỉ”… các vấn đề toàn cầu về khí hậu, năng lượng, sinh quyển – nơi khát vọng của công chúng và cơ chế tài trợ hội tụ, tạo quỹ đạo an toàn nuôi dục vọng vĩ đại.

Gödel nhắc nhở rằng mọi hệ tiên đề đều bất toàn, Heisenberg chỉ ra giới hạn của sự đo lường. Những “đường biên” ấy không chỉ giúp ổn định hệ thống nhận thức chủ quan, mà còn là những cảnh báo cho những ảo tưởng toàn năng và khát vọng không tưởng – những yếu tố dễ trở thành nguồn gốc của thảm họa bởi dục vọng mù quáng.

***
Dục vọng là lửa! Trọng tâm của vấn đề không nằm ở việc dập lửa – vả lại cũng không thể, mà là ở việc xây lò hay đốt rừng. Toán học là lò – gom những ngọn lửa thế gian vào buồng có thành, có van, có ống khói, để chúng không chỉ được cháy – mà còn được nuôi dưỡng và thúc đẩy. Khi những bộ óc thiên tài được thu hút vào toán học, trí tuệ của họ được tự do vùng vẫy – không gây hủy hoại, mà còn nâng cao phẩm giá chung, biến những dục vọng hỗn loạn thành những cấu trúc rực rỡ – làm nền tảng duy trì cho sự tiến bộ – để tự do không trượt thành hỗn loạn và bi kịch, trong một thế giới của những khát vọng vô bờ. Và phải chăng, toán học chính là một trong những phương cách góp phần giúp nhân loại tự cứu mình khỏi sự hủy hoại của chính mình?

Bài đăng Tia Sáng số 21/2025: Toán học – Nơi hóa giải dục vọng

TOÁN HỌC – TIẾNG GỌI CÔNG LÝ

Dương Quốc Việt

Trong lịch sử nhân loại, công lý luôn là khát vọng lớn lao nhất, nhưng thật trớ trêu, đó cũng là điều mong manh nhất. Nó mong manh vì thường bị khuất bóng quyền lực, bị lợi ích bẻ cong, bị bóp méo bởi sự gian dối. Giữa bất công và hỗn loạn ấy, may thay, vẫn còn đó một miền tinh khiết – nơi sự thật không bị khuất phục trước vũ lực và cường quyền, nơi lẽ phải không lệ thuộc vào số đông và không còn đất sống cho ngụy biện xảo trá. Và liệu có phải “Chúa trời là một nhà toán học”, như James Jeans đã bảo thế, nên ngài đã sáng tạo ra cái xứ sở tinh khiết kia?!

Biểu tượng công lý: Toán học, từ bản chất, chính là cuộc kiếm tìm công lý cho tư duy: chân lý chỉ được công nhận khi có lý lẽ làm sáng tỏ, và tất nhiên cái lý lẽ ấy luôn chẳng thể thiên vị ai. Một định lý đúng hôm nay thì ngàn năm sau vẫn đúng, một giả thuyết sai – chỉ cần một phản ví dụ nhỏ nhoi cũng đủ làm sụp đổ, dẫu có được bao thế lực uy quyền tin tưởng. Chính phẩm tính đó – khiến toán học trở thành một biểu tượng văn hóa của khát vọng công lý – thứ công lý không đến từ ý chí chủ quan của con người mà đến từ sự minh bạch nội tại của lý trí.

Một tuyên ngôn công lý để đời: Vào thế kỷ IV trước Công nguyên, Euclid đã viết Cơ sở (Elements), đặt nền móng cho hình học. Tác phẩm này trở thành chuẩn mực của sự chặt chẽ – “khó nhằn” đến nỗi hoàng đế Ptolemy I phải hỏi ông có con đường nào dễ dàng hơn để học nó. Euclid đáp: “Không có con đường hoàng gia để vào hình học.” Câu nói ấy chính là một tuyên ngôn công lý: trong toán học, không ai có đặc quyền miễn trừ; tất cả đều phải đi qua con đường gian nan của sự lĩnh hội và chứng minh.

Công lý toán học – sự lật đổ giáo điều: Galileo Galilei tin rằng “thế giới được viết bằng ngôn ngữ toán học.” Ông đã sử dụng toán học để mô tả các quy luật của chuyển động thẳng biến đổi đều, quỹ đạo của các thiên thể, và chuyển động của con lắc. Những khám phá này đã lật đổ học thuyết địa tâm Ptolemy – một thứ giáo điều tôn giáo đang ngự trị châu Âu thời kỳ đó. Dù bị tòa án dị giáo kết án giam lỏng từ 1633, nhưng cũng chính các định luật được viết bằng ngôn ngữ toán học kia đã trở thành “luật sư biện hộ” cho sự thật, để rồi công lý khoa học cuối cùng đã chiến thắng, và thuyết nhật tâm của Copernicus thay thế thuyết địa tâm.

Sự minh định của lý trí: Không chỉ Lobachevsky và Bolyai, Gauss bằng sự kiên định trong tư duy, cũng phát hiện ra hình học phi Euclid. Ông chỉ ra rằng cái gọi là “hình học tuyệt đối” trong hàng ngàn năm thực ra chỉ là một không gian bị giới hạn bởi một hệ tiên đề. Từ phát hiện này, nhân loại hiểu ra rằng chẳng thể có cái gọi là tuyệt đối nếu nó không được kiểm chứng và soi sáng bằng tư duy, và công lý của lý trí chính là sự minh định.

Vị quan tòa của lịch sử: Trong Thế chiến II, Enigma – cỗ máy mật mã của Đức Quốc Xã – từng là tấm màn thép che chắn cho những toan tính giết chóc. Alan Turing bằng trí tuệ toán học phi thường – từ logic, xác suất cho đến ý tưởng về máy tính hiện đại – đã thành công trong việc giải mã nó. Vì thế mà những bí mật quân sự của Hitler bị phơi bày, cuộc chiến được rút ngắn, và hàng triệu sinh mạng thoát khỏi cái chết oan uổng. Phải chăng, khoảnh khắc ấy, có thể ví như – ông đã để toán học lên tiếng như một vị quan tòa của lịch sử?! 

Công lý tuyệt đối: Trong toán học, mọi người đều bình đẳng: học trò hay thầy dạy, kẻ quyền uy hay người vô danh yếu thế, tất cả đều phải cúi đầu trước sự thật, và chính sự bình đẳng này đã mở ra tự do đích thực cho tư duy. Đó là một thứ công lý tuyệt đối – công lý của lý trí. Mà nếu không có cái công lý này thì cũng sẽ không thể có cái tự do đích thực kia.

Công lý và tự do – sự bứt phá: Sự bình đẳng toán học đã nuôi dưỡng tự do. Tất nhiên, tự do tư tưởng không bao giờ đồng nghĩa với việc thích nghĩ sao thì nghĩ, mà là dám thay đổi, dám nghĩ khác, trên cơ sở những lý lẽ đủ sức thuyết phục và đứng vững. Nhờ vậy, toán học đã sản sinh ra những bứt phá vĩ đại: từ Copernicus đến Newton, từ Riemann đến Einstein. Mỗi bước ngoặt ấy đều là một cuộc nổi dậy chống lại định kiến và giáo điều, rằng đó cũng là những hành trình đòi công lý cho sự thật bị vùi lấp.

Toán học – khát vọng công lý trong đời sống: Nếu toán học là nơi rèn luyện công lý cho tư duy, thì trong đời sống, nó cũng dạy cho con người cách ứng xử công bằng. Đứng trước một vấn đề xã hội, nếu người ta học cách nhìn nhận như đang khảo sát một luận đề toán học, tức là biết cân nhắc thấu đáo cả bằng chứng ủng hộ lẫn phản chứng và phân tích chúng một cách logic – đồng thời sẵn sàng thay đổi quan điểm khi xuất hiện “phản ví dụ”– thì đó chính là tinh thần công lý mà đời sống con người luôn khao khát.

Khi nhìn vào thế giới đầy biến động hôm nay – nơi lẽ phải thường bị lấn át bởi “tiếng ồn”, nơi sự thật bị vùi lấp bởi những ngụy biện tinh vi – người ta càng cần trở về với tinh thần toán học, để quan sát, để suy xét trong sự tỉnh táo của tư duy. Và phải chăng đó cũng còn là cách tiếp thêm bản lĩnh– bảo vệ lẽ phải và công lý?

***

Con người thường soi chiếu công lý từ tòa án, từ hiến pháp hay luật lệ – những điều chỉ là biểu hiện bên ngoài, mà dễ lãng quên một thứ công lý bên trong sâu xa hơn, bền vững hơn – công lý của tư duy. Và phải chăng chính toán học, bằng sự nghiêm ngặt và minh bạch của mình, đã trở thành nơi hiện thực hóa cho khát vọng công lý của nhân loại? Vâng, chúng ta hoàn toàn có thể tin rằng: toán học – chính là nơi khát vọng công lý được nuôi dưỡng, được bảo vệ và được khẳng định bằng sức mạnh của lý trí. Bởi “toán học là ngôn ngữ của vũ trụ, nơi chân lý không thiên vị ai và công lý của lý trí được tôn thờ”, điều mà Galileo Galilei đã khẳng định. Rằng đó chính là một thứ công lý mà bất cứ nền công lý nào cũng cần phải hướng tới!

Đã đăng trong Tia Sáng Số 19/2025: Toán học – Tiếng gọi công lý

TOÁN HỌC – DUY TÂM HAY DUY VẬT?

 Dương Quốc Việt

Ngay từ buổi bình minh của triết học, khi con người bắt đầu tìm hiểu bản chất của tồn tại và nhận thức, toán học đã trở thành một trong những địa chỉ quyến rũ nhất để phô bày những góc nhìn triết học khác nhau. Các “chàng trai triết học” đua nhau “ve vãn” “nữ hoàng toán học” bằng những diễn ngôn vừa gần gụi vừa bay bổng. Ở đó, những cuộc tranh luận giữa duy tâm và duy vật kéo dài không hồi kết. Mỗi định lý, mỗi phép chứng minh, tưởng chừng vô tri, lại chất chứa dấu ấn của những giằng xé siêu hình: giữa tuyệt đối và tương đối, giữa cái thấy và cái biết, giữa tinh thần và vật chất. Toán học thời kỳ ấy, đặc biệt là toán học Hy Lạp, không chỉ là công cụ nhận thức, mà còn là một chiến trường triết lý khốc liệt, nơi những quan niệm về vũ trụ và con người không ngừng va đập dữ dội, khiến từng bước tiến bộ của nó luôn song hành cùng những trận mạc tư tưởng.

Toán học dưới lăng kính duy tâm

Với góc nhìn duy tâm, toán học như một bằng chứng hùng hồn cho sự hiện hữu của thế giới “ý niệm thuần túy” vượt lên trên cảm giác và vật chất. Plato từng nhấn mạnh rằng các ý niệm toán học tồn tại độc lập với thế giới cảm tính, trong một cõi ý niệm vĩnh hằng; con người không sáng tạo ra chúng, mà chỉ khám phá và nhận thức về chúng. Theo ông, các con số, các vật thể hình học không xuất hiện trong thế giới cảm tính, mà chỉ thực sự tồn tại trong ý niệm. Điểm tuyệt đối, đường thẳng tuyệt đối… – những hình thể không tồn tại trong thực tế – lại trở thành những đối tượng cơ bản của hình học, hiện hữu trong tư duy thuần túy đó thôi.

Immanuel Kant cũng khẳng định: “Toán học là tri thức tiên nghiệm, có trước kinh nghiệm,” nhấn mạnh rằng con người nhận thức toán học không dựa trên kinh nghiệm cảm giác mà dựa trên lý trí. James Jeans thì cho rằng “vũ trụ bắt đầu có vẻ giống một tư tưởng hơn là một cỗ máy,” còn Galileo Galilei gọi toán học là “ngôn ngữ vĩnh cửu của vũ trụ.“

Tóm lại, các nhà duy tâm quan niệm: toán học đã có sẵn từ trước và ngoài kinh nghiệm, là chân lý vĩnh cửu, bất biến mà không bị thế giới vật chất chi phối. Điều này mở ra một thế giới – nơi tư duy vượt lên mọi hạn chế của giác quan, nơi mà mỗi định lý, mỗi định luật là một mảnh ghép của trật tự tuyệt đối, vốn không bị chi phối bởi sự bất định hay thay đổi của đời sống thực tại. Vì thế, duy tâm toán học mang đến một niềm tin: tư duy con người, thông qua lý trí, có thể chạm tới chân lý tuyệt đối của vũ trụ, nơi mà trật tự và vẻ đẹp toán học tồn tại tự nó, trước khi con người nhận biết.

Toán học qua lăng kính duy vật

Trái ngược với quan điểm duy tâm, chủ nghĩa duy vật khẳng định rằng toán học không phải món quà từ thiên đường, mà nảy sinh từ chính nhu cầu sinh tồn và cải tạo thế giới. Số học xuất hiện khi con người cần đếm đàn gia súc, đo đạc ruộng đồng; hình học hình thành từ nhu cầu phân chia đất đai, xây dựng nhà cửa, đo lường không gian. Không có thực tiễn, sẽ không có toán học. Toán học, vì thế, không phải là “ý niệm tự tồn”, mà là sự trừu tượng hóa cao độ từ hiện thực vật chất, kết tinh trí tuệ con người qua lịch sử.

Chính vì vậy, dù nói “điểm không có kích thước” hay “đường thẳng không có bề rộng và dài vô tận”, những khái niệm ấy vẫn chỉ là sản phẩm của sự lý tưởng hóa từ thế giới vật chất. Toán học không rơi từ trời xuống; nó là hành trình nhân loại tìm kiếm trật tự và quy luật trong sự phong phú, đa dạng và biến động của tự nhiên.

Nhận định này được nhiều nhà tư tưởng lớn chia sẻ. Aristotle từng nhấn mạnh: “Nhà toán học nghiên cứu những trừu tượng, nhưng chúng được rút ra từ vật chất.” Engels bổ sung: “Toán học thuần túy nghiên cứu hình thức quan hệ không gian và số lượng của thế giới thực.” Poincaré đồng tình khi cho rằng: “Toán học là sự khái quát hóa từ muôn hình vạn trạng của thực tại.” Và Einstein thì tinh tế chỉ ra nghịch lý: “Toán học chắc chắn nhất khi tách rời thực tại, nhưng lại cần thực tại để có ý nghĩa.”

Như vậy, theo lăng kính duy vật, toán học vừa là công cụ nhận thức vừa là kết quả của kinh nghiệm thực tiễn. Chân lý toán học không phải mảnh ghép lý tưởng của tư duy thuần túy, mà là sự tổng hợp những quan hệ khách quan đã được trừu tượng hóa, phản ánh sâu sắc sự vận hành của thế giới. Toán học tồn tại trong ý niệm, nhưng luôn bắt rễ vào hiện thực; nó là cây cầu nối giữa trí tuệ con người và thế giới vật chất.

Cái nhìn biện chứng – toán học là duy tâm hay duy vật?

Một số nhà triết học biện chứng cho rằng, thay vì chỉ giữ một cực, cần xem xét toán học trong mối quan hệ giữa lý thuyết và thực tiễn, giữa tư duy trừu tượng và thế giới vật chất. Toán học vừa phát triển từ nhu cầu thực tiễn trong đời sống con người, vừa hình thành những khái niệm trừu tượng vượt ra ngoài trải nghiệm trực tiếp.

Hình học phi Euclid, vốn phát triển trong tư duy trừu tượng, sau đó được Einstein áp dụng vào thuyết tương đối để mô tả không gian và thời gian trong thực tại, là một trong những ví dụ sinh động trong lịch sử khoa học. Nó minh họa cho cách mà các lý thuyết toán học vận hành, dù trừu tượng, vẫn có thể được liên hệ với hiện thực khách quan, đồng thời vẫn giữ vai trò trong các hệ thống lý thuyết nội tại.

Vì thế, toán học vừa biểu hiện tính duy tâm khi phát triển từ tư duy trừu tượng, hình thành các lý thuyết và khái niệm không phụ thuộc trực tiếp vào kinh nghiệm cụ thể, vừa mang tính duy vật khi dựa vào thực tiễn và kinh nghiệm vật chất để kiểm chứng, ứng dụng và phát triển thêm, thể hiện sự thống nhất biện chứng giữa lý thuyết và hiện thực.

*** 

Thực tại toán học ẩn chứa nhiều khía cạnh, từ các lý thuyết trừu tượng đến ứng dụng trong đời sống thực tế, khiến con người khó có thể thấu hiểu trọn vẹn. Các quan điểm duy tâm và duy vật chỉ nêu ra các phương diện khác nhau của toán học; việc xem xét cả hai góc độ giúp người ta nhận ra sự phong phú và đa dạng trong cách hiểu toán học.

Hiện thực luôn phong phú hơn những cái nhìn nhị nguyên giản lược. Câu hỏi “toán học – duy tâm hay duy vật?” vì thế khó có một câu trả lời duy nhất, mà được soi chiếu qua không ít lăng kính: triết học, lịch sử khoa học, và trải nghiệm thực tiễn, tạo nên những cuộc tranh luận không hồi kết.

Nhưng chính bởi những cuộc tranh luận căng thẳng thể hiện sự đối kháng tư tưởng kia, tri thức mới được tôi luyện và trưởng thành. Như Karl Popper từng đúc kết: “Triết học và khoa học tiến bộ nhờ những cuộc tranh luận và quan điểm trái ngược, chứ không phải nhờ sự đồng thuận dễ dãi.” Và có lẽ, phải chăng toán học – mãi là nữ hoàng quyến rũ những tâm hồn khao khát khám phá?

Bài đăng Tia Sáng số 18/2025: Toán học – Duy tâm hay duy vật

TOÁN HỌC KHÔNG CHỈ LÀ CÔNG CỤ

Dương Quốc Việt

Từ hàng nghìn năm trước, khi con người lần đầu tiên vạch những đường thẳng lên mặt đất để phân chia lãnh thổ, đếm những vật phẩm để đo lường của cải, căng buồm ra khơi với khát vọng chinh phục biển cả, hay ngước nhìn bầu trời để dự đoán mùa màng, toán học đã hiện diện. Nó không ra đời như một thứ kỹ thuật thuần túy, càng không phải chỉ là công cụ nhằm trợ giúp con người vận hành cuộc sống hiệu quả hơn. Ngay từ buổi đầu, toán học đã là một phương thức để con người suy tư, truy tìm trật tự ẩn sau vạn vật, đặt câu hỏi về bản chất của tồn tại, và đối thoại với cái vô hạn bằng ngôn ngữ của lý trí. Và có phải chăng “toán học là ngôn ngữ mà thượng đế đã dùng để viết nên vũ trụ”, như Galileo Galilei đã chiêm nghiệm?

Toán học – cánh cửa vào thế giới tinh thần

Tương truyền rằng, khi Platon lập ra học viện của mình đã cho treo dòng chữ: “Ai không biết hình học thì đừng bước vào đây”. Điều đó cho thấy, người ta đã không chỉ nhìn thấy toán học như một phương tiện mà còn khẳng định vị thế đặc biệt của nó trong hành trình tìm kiếm chân lý. Đối với Platon, các khái niệm toán học như điểm, đường, hình tròn hay số là biểu hiện của thế giới ý niệm – một thế giới tồn tại khách quan, vĩnh cửu và phi vật chất. Con người, thông qua tư duy toán học, có thể bước ra khỏi những rối ren của cảm giác để hướng tới sự minh triết.

Toán học, trong viễn tượng ấy, giống như một hình thức khắc kỷ tinh thần. Nó đòi hỏi sự chính xác khắt khe, tính nhất quán tuyệt đối và đức kiên trì vượt lên mọi dễ dãi của cảm xúc. Nhưng chính nhờ vậy, nó rèn luyện con người trở nên sâu sắc hơn, lý trí hơn và gần gũi với bản thể hơn. Một định lý đẹp không chỉ để lại dấu ấn tri thức mà còn gây xúc động – như khi ta đứng trước một bức tranh hài hòa của thiên nhiên. 

Toán học không chỉ phục vụ, mà còn chất vấn thực tại

Trong xã hội hiện đại, người ta thường xem toán học như “một ngôn ngữ của khoa học” – tức là một công cụ mạnh mẽ để mô hình hóa, dự đoán và tối ưu hóa các hiện tượng vật lý, sinh học, kinh tế, công nghệ… Điều này đúng, nhưng không đủ. Nếu bị giới hạn trong vai trò công cụ, toán học trở thành kẻ phục tùng, khi đó nó bị tước đi quyền chất vấn và thách thức các nền tảng tri thức.

Trở lại lịch sử toán học, chính những khám phá “vô dụng” nhất mới là những mũi khoan sâu sắc và bất ngờ nhất vào bản chất của thực tại. Hình học phi Euclid, với những tiên đề phá vỡ trực giác hình học – đã định hình tư duy nhân loại suốt hàng nghìn năm, làm lung lay niềm tin vào không gian tuyệt đối và mở đường cho thuyết tương đối. Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp (Cantor, Russell) cùng các định lý bất toàn của Gödel đã phơi bày giới hạn của hệ tiên đề và khái niệm vô hạn – những điều chẳng ai mong. Lý thuyết Galois, được viết trong vài đêm cuối đời một chàng trai trẻ, không nhằm phục vụ cho ai vào thời điểm đó, nhưng hàng thế kỷ sau trở thành nền tảng cho vật lý lượng tử và mật mã học.

Toán học như vậy không chỉ phản ánh thế giới, mà còn đặt lại câu hỏi: thế giới là gì? Và liệu “thế giới” có giới hạn trong cảm quan của chúng ta, hay là một cấu trúc sâu hơn – nơi toán học chính là ngôn ngữ bí ẩn mà con người đang từng bước giải mã?

Toán học và sự tự do tinh thần

Thái độ “xem toán học như công cụ” phản ánh một thứ văn hóa thực dụng – nơi mọi thứ đều quy về lợi ích, hiệu quả và đo lường được. Trớ trêu thay, chính vì thái độ này, con người sẽ dần tự làm mất đi cái quyền thiêng liêng cao cả sống còn – ấy là quyền tự do tư tưởng. Điều chỉ làm cho toán học lụi tàn.

Toán học đích thực không dạy người ta lặp lại, mà dạy con người biết đặt câu hỏi. Không chỉ tính nhanh hơn, mà còn khơi dậy khát vọng chứng minh, khám phá, phản biện, sáng tạo. Một học sinh giải được bài toán không phải vì “làm theo mẫu”, mà vì dám thử sai, dám phản biện lời giải của người khác, dám bước trên con đường chưa ai đi. Tinh thần ấy, nếu được nuôi dưỡng bền bỉ qua toán học, sẽ lan tỏa sang các lĩnh vực khác của đời sống: chính trị, văn hóa, đạo đức.

Người có tinh thần toán học đích thực là người có tư duy độc lập, biết hoài nghi, và can đảm theo đuổi chân lý đến tận cùng – kể cả khi nó trái với số đông.

Toán học – một hình thái nghệ thuật của lý trí

Nếu nghệ thuật là tiếng vọng của tâm hồn qua cảm xúc, thì toán học là tiếng ngân của tâm hồn qua sự tinh lọc của lý trí. Một chứng minh đẹp, một hệ tiên đề giản dị, một công thức đơn sơ kết nối những đại lượng dường như xa lạ – tất cả đều mang một vẻ đẹp ngỡ ngàng và thức tỉnh– tạo nên cảm xúc trí tuệ, ví như những bản giao hưởng trác tuyệt hay một kiệt tác hội họa trong nghệ thuật khiến trái tim thổn thức.

Toán học không màu sắc, không âm thanh, không mùi vị – nhưng nó khơi dậy cái đẹp sâu xa nhất: cái đẹp của sự tinh khôi, chính xác và vĩnh cửu. Đó là cái đẹp không bị thời gian làm phai nhạt, cái đẹp của sự sinh sôi, không bị thị hiếu nhất thời làm biến dạng. Và cũng chính vì thế, nó là một dạng nghệ thuật đặc biệt – nghệ thuật của tư duy. Và theo G. H. Hardy: “Một nhà toán học, giống như một họa sĩ hay một nhà thơ, sáng tạo nên những khuôn mẫu. Nếu các khuôn mẫu của ông đẹp, chúng sẽ sống mãi.”

***
Toán học, khi bị xem như một công cụ thuần túy, sẽ bị đối xử như một nô lệ – phục tùng ý chí người dùng, bị giảng dạy như một thao tác, thậm chí còn bị bóp méo thành những câu chuyện “mẹo đối mưu”. Khi trả toán học về đúng bản chất, dạy và học toán sẽ trở thành thứ nuôi dưỡng tự do trí tuệ. Và có lẽ, những nhắn gửi của Georg Cantor: “Dạy toán để học trò biết đặt câu hỏi, chứng minh, hoài nghi”, và của Bertrand Russell: “Học toán để cảm nhận cái đẹp của sự chính xác và can đảm đi đến tận cùng lập luận” vẫn còn nguyên giá trị cho đến hôm nay. Toán học không chỉ giúp con người trong công việc, mà còn giúp họ trở thành chính mình. Và hơn tất cả, nó là một phần linh hồn của văn minh nhân loại.

 Bài đăng Tia Sáng số 17/2025: Toán học không chỉ là công cụ